أقصى مساحة للمستطيل – مشكلة التحسين مع الحل

 

الحد الأقصى لمساحة
مشكلة تحسين المستطيل مع الحل

تكبير مساحة المستطيل المدرج في مثلث باستخدام المشتق الأول . يتم عرض مشكلة التحسين هذه وحلها.

مشكلة OAB هو مثلث يتم إعطاء رؤوسه. أوجد أبعاد المستطيل ذي المساحة القصوى المدوَّنة في المثلث وأحد أضلاعه على الجانب OA من المثلث. حل المشكلة:   في الشكل أدناه ، يوجد مستطيل برؤوس القمة على جانبي المثلث ، وعرضه W ، وطوله L منقوشان داخل المثلث المعطى. علينا أولًا إيجاد صيغة لمساحة المستطيل بدلالة x فقط. يتم إعطاء المنحدر m1 للخط المار عبر OB بواسطة m1 = (12-0) / (6-0) = 2 دع (x، y) تكون إحداثيات الرأس الأيسر العلوي للمستطيل. بالتالي م 1 = 2 = (ص – 0) / (س – 0) = ص / س ومن ثم يتم إعطاء عرض المستطيل W بالقيمة W = y = 2x يتم إعطاء المنحدر m2 عبر AB بواسطة. م 2 = (12 – 0) / (6-10) = -3 إذا كان الرأس الأيمن العلوي للمستطيل به إحداثيات (x، y) إذن. م 2 = -3 = (ص – 0) / (س – 10) ومن ثم ص = -3 س + 30 إذا عوضنا عن x ب x + L في المعادلة أعلاه ، فإن y تساوي W عرض المستطيل y = W = -3 (x + L) + 30 نحن الآن نساوي تعابير W = 2x و W = -3 (x + L) + 30 لإيجاد والتعبير عن L 2x = -3 (x + L) + 30 حل المعادلة أعلاه من أجل L L = 10 – (5/3) x تم إعطاء المنطقة أ بواسطة. A = WL = 2x (10 – (5/3) x) = – (10/3) x 2 + 20 x A هي دالة تربيعية لـ x ، على شكل ax 2 + bx + c ، ومعاملها الرئيسي a = -10 / 3 سالب ، ومن ثم فهي ذات قيمة قصوى عند القيمة الحرجة للمشتق الأول A ‘من A. أ ‘(س) = – (20/3) س + 20 تم العثور على النقطة الحرجة عن طريق حل المعادلة A ‘(x) = 0. ومن ثم – (20/3) x + 20 = 0 يتم الحصول على النقطة الحرجة بواسطة x = 3. المنطقة أ من المستطيل لها قيمة قصوى لـ x = 3 ، W = 2x = 6 ، L = 10 – (5/3) 3 = 5.