نقدم لكم في المقال التالي بحث عن التشابه وهو واحد من أكثر أنواع الأبحاث التي تحظى على اهتمام كلاً من الطلاب والباحثين في مجال علم الرياضيات خاصة فرع حساب المثلثات حيث غالباً ما ينصب التشابه على الأشكال الهندسية سواء كانت أشكال رباعية أو ثلاثية كالمثلثات، وتختلف أشكال المثلثات من حيث الأضلاع والزوايا.
تنقسم المثلثات من حيث الشكل والنوع إلى مثلث متساوي الساقين، متساوي الأضلاع، أو مثلث مختلف الأضلاع، كما يوجد في علم الرياضيات وحساب المثلثات ما يعرف بالمثلث متساوي الزوايا إذ تساوي كلاً من زواياه ستون درجة، أما القائم فهو ذلك الذي واحدة من زواياه تساوي تسعون درجة والذي يطلق على الضلع المقابل لها الوتر ويمثل أكبر الأضلاع طولاً به، بينما المثلث الحاد فهو الذي تقل جميع زواياه في القياس عن التسعون درجة، ولكن ما هو التشابه، ذلك ما سوف نجيبكم حوله في الفقرات التالية، فتابعونا.
تعريف التشابه
يعرف تشابه المثلثات (Triangle similarity) بأنه واحدة مما يربط زوايا المثلث فيما بينها من علاقات�� وبه تكون الزوايا المتقابلة في كلاً من المثلثين المتشابهين متساوية، كما تكون الأضلاع متناسبة، ومن ذلك يتبن مدى الاختلاف في التشابه عن التطابق (Congruence) وهو ما ينبغي أن يكون أطوال الأضلاع به متساوية في كلا المثلثين مع تساوي الزوايا بينهما.
والمقصود بتساوي المثلثات أن يكون لكل منها الشكل ذاته ولكن لكل منها حجم مختلف خاص به بينما طول كل ضلع من أضلعهم متناسب ومتشابه، ففي الحالة التي يكون المثلث (أب ج) متشابه مع المثلث (دهـ و) كما هو موضح في المثال الآتي تكون الزوايا (أب/دهـ) مساوية للزوايا (أج/دو)=(ب ج/هـ و)، ولإيضاح الأمر أكثر نذكر ما يلي من نقاط:
- تشابه المثلثات: يعني ذلك أن لكل من المثلثين تشابه من حيث الشكل فقط ويرمز لكلاً منهما بالرمز (∽).
- تطابق المثلثات: يقصد بالتطابق في المثلثات أن يكون لكليهما الحجم ذاته والشكل ذاته، ويرمز للتطابق بالرمز (≅).
بحث عن التشابه في المضلعات
تساوي طولي وتري مثلثين قائمي الزاوية
حينما يتساوى أحد أوتار المثلث قائم الزاوية مع وتر آخر في مثلث قائم الزاوية كذلك، وتساوي طول واحد من الأضلاع الأخرى مع طول ما هو مقابل له من أضلع مثلث آخر، هنا يكون المثلثان متشابهان.
تساوي أطوال الأضلاع الثلاثة
بالمثلث الأول إذا كانت الأضلاع الثلاثة متساوية بالقياس مع أطوال أضلاع المثلث الآخر يتحقق التشابه بين المثلثين.
تساوي طولي ضلعين وقياس الزاوية الواقعة بينهما
بالحالة التي يكون فيها طولي ضلعين من مثلث متساويين مع طولي المقابلين من ضلعي المثلث الآخر، وكان ما يقع من زوايا بين الضلعين متساوية مع الزواية المتقابلة بالمثلث الآخر، وبالتالي يمكن القول بتحقق التشابه بالمثلثين.
تساوي قياس الزوايا
إذا كان هناك زاويتان في مثلث متسويتان مع أطوال الضلعين المقابلين لهما في مثلث آخر، وكان ما هو واقع بين هذين الضلعين من زاويا متساوي مع الزاوية المقابلة من مثلث آخر يكون حينها المثلثين متشابهين.
تشابه المثلثات القائمة
تتشابه المثلثات ذات الزوايا القائمة بالحالات التالية:
- التشابه بالساق والوتر : في الحالة التي تكون النسبة بها بين أطوال الوترين متساوية مع النسبة بين أطوال إحدى الساقين بمثلثين قائمي الزاوية، حينها يكون المثلثين متشابهان.
- التشابه بالساقين: إذا كانت أطوال السيقان المتقابلة متناسبة لمثلثين قائمي الزاوية؛ فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (ضلع، زاوية، ضلع).
- التشابه في الزاوية الحادة: حينما تكون النسبة ما بين الأطوال في الوترين متساوية مع النسبة فيما بين أحد الساقين بالمثلثين قائمي الزاوية يكون المثلثان متشابهان.
خصائص تشابه المثلثات
هناك بعض الخصائص الهامة التي تميز حالات تشابه المثلث منها التالي:
- حينما يكون المثلث متشابه مع مثلث آخر وكان ذلك المثلث الأخير يشبه المثلث الأول، وهو ما يعرف في حالات تشابه المثلث بالمتناظرة.
- من الممكن أن يتم الحكم على تشابه المثلثات في حالة تحقق ذلك التشابه بمجرد النظر دون الحاجة لإجراء قياسات.
- كل حالات تساوي الأضلاع في المثلثات تكون المثلثات بها متشابهة.
- كل مثلثان لهما اثنان من الزوايا متساوية تكون الزاوية الثالثة في كلاً منهما متساوية كذلك.
- جميع المثلثات تشبه نفسها وهو ما يعرف بالخاصية الانعكاسية.
- في حالة تحقق التشابه بين مثلثين تكون جميع الزوايا المتقابلة بينهما متساوية.
- إذا كان المثلث متشابه مع مثلث آخر وذلك المثلث أيضاً يشبه مثلث ثالث يكون المثلث الأول بالتبعية مشابه للمثلث الثالث وهو ما يعرف بخاصية المتعدية.
- من الممكن أن يتم تطبيق نظرية تشابه المثلثات لكي يتم احتساب أطوال أضلاع المثلث الغير معلومة أو المعلومة، بواسطة المسطرة للحصول على قياسات دقيقة وصحيحة.
حل مسائل التشابه
نعرض فيما يلي بعضاً من الأمثلة على تشابه المثلثات وحل كل من تلك الأمثلة:
المسألة الأولى
- أطوال الثلاث أضلاع للمثلث هي (2، 5، 12)، وهناك مثلث آخر أطوال الثلاث أضلاع به هي (4، 10، 24)، فهل يكن المثلثين السابقين متساويين.
- الحل:يتم أولاً حساب ما بين أطوال الأضلاع في المثلثين من نسب على النحو التالي: (2/4)=2، (5/10)=2، (24/12)=2، الناتج في كافة الحالات السابقة كان متساوي يكون المثلثان متشابهان بالتبعية لتساوي الأضلاع الثلاثة.
المسألة الثانية
- مثلثان متشابهان أولهما تساوي أطوال أضلاعه (6، 7، 8 سم)، بينما الثاني تبلغ أطوال أضلاعه (أ، ب، 6.4 سم)، المطلوب إيجاد طولي الضلعين المجهولين في المثلث الثاني؟
- الحل: بما أن المثلثين متشابهين، إذاً أطوال الأضلاع بينهما متساوية (8/6.4)=1.25)، وبالتالي يمكن حساب طول الضلع الأول (أ)من خلال التعويض بالنسبة بين أطوال الأضلاع على النحو التالي (6/أ)=1.25)، إذاً طول الضلع (أ) يساوي (4.8 سم)، بينما طول الضلع (ب) يتم التعرف عليه من خلال التعويض بالنسبة بين أطوال الأضلاع ((7/ب)=1.25ـ وبالتالي تم التوصل إلى أن طول الضلع (ب) يساوي 5.6 سم.
