مساحة اعلانية

آخر المواضيع

استخدم المشتق الأول لتقليل مساحة مشكلة تحسين الهرم

 

استخدم المشتق الأول لتقليل مساحة
مشكلة تحسين الهرم

يستخدم المشتق الأول لتقليل مساحة سطح الهرم بقاعدة مربعة.



 

مشكلة

يظهر أدناه هرم بقاعدة مربعة ، وطول ضلع س ، وارتفاع ح. أوجد قيمة x بحيث يكون حجم الهرم 1000 سمومساحة سطحه الدنيا.

الهرم للمشكلة 2
حل المشكلة 1:

 

    • تم حل هذه المشكلة بيانيا . هنا نحلها بشكل أكثر صرامة باستخدام المشتق الأول.
    • نستخدم أولاً صيغة حجم الهرم لكتابة المعادلة:
      (1/3) hx 2 = 1000
    • نستخدم الآن صيغة مساحة سطح الهرم لكتابة صيغة لمساحة السطح S للهرم المعطى. في هذه المشكلة لدينا هرم مربع ، ومن هنا:
      S = x * √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + x * √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + x * x
      = 2 x √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + × 2
    • حل المعادلة (1/3) hx 2 = 1000 للحصول على h للحصول على:
      h = 3000 / x 2
    • استبدل h في صيغة مساحة السطح بـ 3000 / x 2 للحصول على صيغة S بدلالة x (x موجب) فقط وأعد كتابتها على النحو التالي:
      S = √ [(36 10 6 + x 6 )] / x + x 2

    • افترض أن ثابت k = 36 10 6 واشتق S بالنسبة ل x.
      dS / dx = [3 x 6 (k + x 6 ) -1/2 – (k + x 6 ) 1/2 ] / x 2 + 2 x
    • اضرب البسط والمقام ب (k + x 6 ) 1/2 وبسّط.
      dS / dx = [2 x 6 – k] / [x 2 (k + x 6 ) 1/2 ] + 2x
    • يظهر الرسم البياني dS / dx أدناه. بالنسبة إلى x> 0 ، فإن dS / dx لها صفر وسالب على يسار ذلك الصفر وموجب على يمين الصفر. هذا يعني أن S لها قيمة دنيا يمكن تحديد موقعها عن طريق ضبط dS / dx = 0 وحلها من أجل x.
      رسم بياني لمشتق dS / dx

      [2 x 6 – k] / [x 2 (k + x 6 ) 1/2 ] + 2 x = 0
  • أعد الكتابة بتنسيق.
    [2 × 6 – ك] = – 2 × 3 (ك + × 6 ) 1/2
  • دع u = x 3 و u 2 = x 6 وأعد كتابة ما سبق على النحو التالي:
    [2 u 2 – k] = – 2 u (k + u 2 ) 1/2
  • ر��ّع كلا الجانبين:
    4 u 4 + k 2 – 4k u 2 = 4 u 2 (k + u 2 )
  • بسّط لتحصل على:
    2 – 4k u 2 = 4 ku 2 k
  • حل من أجل u: (u موجب منذ x موجب)
    u = √ [k / 8]
  • أخيرًا قم بحل من أجل x للحصول على:
    x = [√ [k / 8] ] 1/3
  • عوّض بـ k بقيمته واحسب x:
    x = 12.8 cm (مقربًا لأقرب منزلة عشرية).
  • فيما يلي الرسوم البيانية لمساحة السطح ومشتقاتها.
    الرسم البياني لـ S ومشتقاته dS / dx

الكــاتــب

جميع الحقوق محفوظة لــ المجتمع التعليمي