استخدم المشتق الأول لتقليل مساحة
مشكلة تحسين الهرم
يستخدم المشتق الأول لتقليل مساحة سطح الهرم بقاعدة مربعة.
| مشكلةيظهر أدناه هرم بقاعدة مربعة ، وطول ضلع س ، وارتفاع ح. أوجد قيمة x بحيث يكون حجم الهرم 1000 سم3 ومساحة سطحه الدنيا.  حل المشكلة 1: - تم حل هذه المشكلة بيانيا . هنا نحلها بشكل أكثر صرامة باستخدام المشتق الأول.
- نستخدم أولاً صيغة حجم الهرم لكتابة المعادلة:
(1/3) hx 2 = 1000 - نستخدم الآن صيغة مساحة سطح الهرم لكتابة صيغة لمساحة السطح S للهرم المعطى. في هذه المشكلة لدينا هرم مربع ، ومن هنا:
S = x * √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + x * √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + x * x
= 2 x √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + × 2 - حل المعادلة (1/3) hx 2 = 1000 للحصول على h للحصول على:
h = 3000 / x 2 - استبدل h في صيغة مساحة السطح بـ 3000 / x 2 للحصول على صيغة S بدلالة x (x موجب) فقط وأعد كتابتها على النحو التالي:
S = √ [(36 10 6 + x 6 )] / x + x 2 - افترض أن ثابت k = 36 10 6 واشتق S بالنسبة ل x.
dS / dx = [3 x 6 (k + x 6 ) -1/2 – (k + x 6 ) 1/2 ] / x 2 + 2 x - اضرب البسط والمقام ب (k + x 6 ) 1/2 وبسّط.
dS / dx = [2 x 6 – k] / [x 2 (k + x 6 ) 1/2 ] + 2x - يظهر الرسم البياني dS / dx أدناه. بالنسبة إلى x> 0 ، فإن dS / dx لها صفر وسالب على يسار ذلك الصفر وموجب على يمين الصفر. هذا يعني أن S لها قيمة دنيا يمكن تحديد موقعها عن طريق ضبط dS / dx = 0 وحلها من أجل x.
[2 x 6 – k] / [x 2 (k + x 6 ) 1/2 ] + 2 x = 0
- أعد الكتابة بتنسيق.
[2 × 6 – ك] = – 2 × 3 (ك + × 6 ) 1/2 - دع u = x 3 و u 2 = x 6 وأعد كتابة ما سبق على النحو التالي:
[2 u 2 – k] = – 2 u (k + u 2 ) 1/2 - ر��ّع كلا الجانبين:
4 u 4 + k 2 – 4k u 2 = 4 u 2 (k + u 2 ) - بسّط لتحصل على:
k 2 – 4k u 2 = 4 ku 2 k - حل من أجل u: (u موجب منذ x موجب)
u = √ [k / 8] - أخيرًا قم بحل من أجل x للحصول على:
x = [√ [k / 8] ] 1/3 - عوّض بـ k بقيمته واحسب x:
x = 12.8 cm (مقربًا لأقرب منزلة عشرية). - فيما يلي الرسوم البيانية لمساحة السطح ومشتقاتها.
|
