تطبيقات المعادلات التفاضلية

 

نقدم أمثلة حيث يتم تطبيق المعادلات التفاضلية��على نطاق واسع لنمذجة الظواهر الطبيعية والأنظمة الهندسية والعديد من المواقف الأخرى.

التطبيق 1: النمو الأسي – السكان لنفترض أن P (t) كمية تزداد بمرور الوقت t ويكون معدل الزيادة متناسبًا مع نفس الكمية P على النحو التالي د ف / دت = ك ف حيث dp / dt هو أول مشتق من P و k> 0 و t هو الوقت. يتم إعطاء حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى أعلاه بواسطة الفوسفور (t) = A e k t حيث A ثابت لا يساوي 0. إذا كان P = P 0 عند t = 0 ، إذن P 0 = A e 0 مما يعطي A = P 0 الصيغة النهائية للحل يتم الحصول عليها بواسطة الفوسفور (t) = الفوسفور 0 ه ك t بافتراض أن P 0 موجب وبما أن k موجب ، فإن P (t) هو أسي متزايد. د P / dt = k P يسمى أيضًا نموذج النمو الأسي.   التطبيق 2: الاضمحلال الأسي – المواد المشعة لنفترض أن M (t) هو مقدار المنتج الذي يتناقص بمرور الوقت t ويكون معدل الانخفاض متناسبًا مع المبلغ M على النحو التالي د م / دت = – ك م حيث d M / dt هو أول مشتق من M و k> 0 و t هو الوقت. حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى أعلاه للحصول عليها M (t) = A e – kt حيث A غير ثابت. نفترض أن M = M 0 عند t = 0 ، ثم M 0 = A e 0 مما يعطي A = M 0 يمكن كتابة الحل على النحو التالي M (t) = M 0 e – kt بافتراض أن M 0 موجب وبما أن k موجب ، فإن M (t) هو أسي متناقص. d M / dt = – k M يسمى أيضًا نموذج الاضمحلال الأسي.   التطبيق 3: سقوط الجسم يسقط جسم من ارتفاع في الوقت t = 0. إذا كانت h (t) هي ارتفاع الجسم في الوقت t ، a (t) العجلة و v (t) السرعة. العلاقات بين a و v و h كالتالي: a (t) = dv / dt، v (t) = dh / dt. لجسم ساقط ، a (t) ثابت ويساوي g = -9.8 m / s. بدمج المعادلات التفاضلية المذكورة أعلاه ، يمكننا بسهولة استنتاج المعادلة التالية d 2 h / dt 2 = g دمج طرفي المعادلة أعلاه للحصول على dh / dt = gt + v 0 دمج مرة أخرى للحصول على h (t) = ( 1/2) gt 2 + v 0 t + h 0 تصف المعادلة أعلاه ارتفاع جسم ساقط ، من ارتفاع ابتدائي h 0 بسرعة ابتدائية v 0 ، كدالة للوقت.   التطبيق 4: قانون التبريد نيوتن إنه نموذج يصف ، رياضيًا ، التغير في درجة حرارة جسم ما في بيئة معينة. ينص القانون على أن معدل التغير (في الوقت المناسب) لدرجة الحرارة يتناسب مع الفرق بين درجة حرارة T للجسم ودرجة حرارة البيئة المحيطة بالجسم. د T / دت = – ك (T – تي) دع x = T – Te بحيث يكون dx / dt = dT / dt باستخدام التغيير أعلاه في المتغير ، تصبح المعادلة التفاضلية أعلاه dx / dt = – kx يتم إعطاء حل المعا��لة التفاضلية أعلاه بواسطة x = A e – kt البديل x بواسطة T – Te T – Te = A e – kt افترض أنه عند t = 0 درجة الحرارة T = To – Te = A e 0 مما يعطي A = To – Te التعبير النهائي لـ T (t) i المعطى بواسطة T (t) = Te + (To – Te) e – kt يوض�� هذا التعبير الأخير كيف تتغير درجة حرارة الجسم T مع مرور الوقت.   التطبيق 5: دائرة RL دعونا ننظر في دائرة RL (المقاوم R والمحث L) الموضحة أعلاه. عند t = 0 ، يكون المفتاح مغلقًا ويمر التيار عبر الدائرة. تنص قوانين الكهرباء على أن الجهد عبر المقاوم للمقاومة R يساوي R i والجهد عبر محث L يُعطى بواسطة L di / dt (أنا هو التيار). يعطي قانون آخر معادلة تربط جميع الفولتية في الدائرة أعلاه على النحو التالي: L di / dt + Ri = E ، حيث E هو جهد ثابت. دعونا نحل المعادلة التفاضلية أعلاه والتي يمكن كتابتها على النحو التالي L [di / dt] / [E – R i] = 1 والتي يمكن كتابتها كـ – (L / R) [- R di] / [E – Ri] = dt تكامل كلا الجانبين – (L / R) ln (E – R i) = t + c ، c ثابت التكامل. ابحث عن ثابت c عن طريق ضبط i = 0 عند t = 0 (عندما يكون المفتاح مغلقًا) والذي يعطي c = (-L / R) ln (E) استبدل c في الحل – (L / R) ln (E – R i) = t + (-L / R) ln (E) والتي يمكن كتابتها (L / R) ln (E) – (L / R) ln (E – R i) = t ln [E / (E – Ri) ] = t (R / L) التغيير إلى الشكل الأسي [E / (E – Ri)] = e t (R / L) حل من أجل i للحصول على i = (E / R) (1-e -Rt / L ) نموذج البداية للدائرة هو معادلة تفاضلية والتي عند حلها تعطي تعبيرًا عن التيار في الدائرة كدالة للوقت.